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Never Tell Me The Odds!

¿Qué es un Odds?

Odds es un término anglosajón que puede ser traducido como la ventaja o las probabilidades a favor o en contra de que suceda algo.

Un Odds es igual al cociente entre la probabilidad de que un evento ocurra y la probabilidad de que no ocurra. O también la razón entre el número de casos de que ocurra un evento entre el número de casos de que no ocurra.

En El Imperio Contraataca, La Princesa Leia, Han Solo, Chewbacca y C-3P0, a bordo del Halcón Milenario, abandonan la base rebelde del planeta Hoth a toda leche, ante la inminente llegada de las tropas imperiales. Una vez en el espacio, son perseguidos por cazas imperiales. Durante la huida, la nave tiene problemas para alcanzar la velocidad de la luz, así que Han, para intentar zafarse de los cazas imperiales, decide poner rumbo a un campo de asteroides. En ese momento, C-3P0, que ya estaba bastante acojonadito, calcula que las posibilidades de navegar con éxito en un campo de asteroides son de, aproximadamente, 3720 a 1. En notación de Odds se escribiría 3720:1.

C-3P0 también podría haberse expresado de otra manera, diciendo que de 3721 veces que se intente navegar por un campo de asteroides con el Halcón Milenario, únicamente saldrás vivo en una de ellas.

En los 3720 intentos restantes te pegarás el castañazo.

Es decir, la probabilidad de salir vivito y coleando del campo de asteroides sera de un 0.0268745 % , mientras que la de morir en el intento será de un 99.973125 %.

Como el post va de Odds, vamos a concretar un poco. Hemos dicho que un Odds tiene esta pinta:

    \[ Odd= \frac{p}{1-p} \]

donde p será la probabilidad de salir vivo del campo de asteroides y 1-p la probabilidad de pegártela.

Según C-3P0, el Odds para el Halcón Milenario sería:

    \[ Odds_{sobrevivir| HM} = \frac{p}{1-p} = \frac{0.0268745}{99.973125} = 0.00026882 \]

o también podríamos haberlo calculado más directamente con los datos de C-3P0.

    \[ Odds_{sobrevivir| HM}= \frac{1}{3720} = 0.00026882 \]

¿Cómo interpretamos el valor del Odds?.

Pues un Odds no deja de ser un ratio. Un ratio que indica la cantidad de veces que un evento puede ocurrir frente a que no pueda ocurrir. Dicha cantidad puede variar entre cero e infinito. Dependiendo de su valor podemos decir que:

  • Si el valor del Odds es mayor que uno, es más probable que el evento ocurra a que no ocurra. Y cuanto mayor sea el valor, mayor probabilidad de que ocurra el evento.
  • Si el valor del Odds es igual a uno, se dice que el evento es equiprobable, es decir, que existe la misma probabilidad de que ocurra el evento o de que no ocurra.
  • Si el valor del Odds es menor que uno, la probabilidad de que el evento ocurra es menor que la de que no ocurra. Y cuanto menor sea el valor del Odds, mayor probabilidad de que no ocurra el evento.

En nuestro caso, se puede entender como que, por cada carguero ligero YT-1300 que se la pegue en el campo de asteroides hay 0.00026882 que lograron sobrevivir. Es decir, la probabilidad de salir vivo es 0.00026882 veces mayor que la de cascar. Visto de otra forma, este modelo de nave tiene una ventaja de 0.00026882 para sobrevivir a un campo de asteroide frente al hecho de morir chocando contra una roca. Esta ventaja es el Odds.

Figura 1 – Odds de supervivencia del Halcón milenario

Así pues, vemos que los Odds expresan lo mismo que las probabilidades. En la figura 1, la proporción de superviviencia con el Halcón Milenario es de 0.026874%, que es lo mismo que decir que el Odds de supervivencia es de 0.00026882. La diferencia está en las escalas. Mientras que para las probabilidades la escala va de 0 a 1,  en el Odds la escala varía entre cero e infinito.

Ahora introducimos el concepto de Odds Ratio, también llamado razón de oportunidades, razón de probabilidades o razón de momios.

El Odds Ratio (OR) es, simplemente, el cociente de dos Odds.

Al igual que los Odds, su valor varia entre cero e infinito. Y podemos decir que:

  • Un valor para el OR igual a uno implica que no hay relación entre el tipo de nave elegida y sobrevivir.
  • Cuanto más cercano a uno sea el valor del OR, más débil será la relación entre las variables. Y viceversa, cuanto más alejado de uno, más fuerte será la relación entre las variables.
  • Para valores del OR menores a 1 se dice que existe una asociación negativa entre las variables.Es decir, la presencia del factor no se asocia con la mayor ocurrencia del evento. En nuestro caso, el tipo de nave elegida no se asocia a una mayor probabilidad de supervivencia. Al tipo de nave se le consideraría un factor de protección.
  • Y para valores mayores a 1, la asociación entre las variables se dirá positiva. Es decir, la presencia del factor se asocia a la mayor ocurrencia del evento. En nuestro caso, el tipo de nave elegida se asociaría a una mayor probabilidad de supervivencia. Al tipo de nave se le consideraría un factor de riesgo.

Imaginemos ahora que calculamos que las posibilidades de navegar con éxito en un campo de asteroides pilotando un caza estelar T-65 Ala-X y nos sale que son, proximadamente, 3709 a 12. Usando notación de Odds, 3709:12. Lo que nos daría:

    \[ Odds_{sobrevivir|Ala-X}= \frac{12}{3709} = 0.00323537 \]

Figura 2 – Odds de supervivencia del Ala-X

Podríamos construirnos una tabla como esta:

    \[ \begin{tabular}{ll|l|l|l} \cline{3-4} & & \multicolumn{2}{l|}{Variable predictora} & \\ \cline{3-5} & & YT-1300 & ALA-X & \multicolumn{1}{l|}{Total} \\ \hline \multicolumn{1}{|c|}{\multirow{2}{*}{Variable respuesta}} & Salvado & 1 & 12 & \multicolumn{1}{l|}{13} \\ \cline{2-5} \multicolumn{1}{|c|}{} & Reventado & 3720 & 3709 & \multicolumn{1}{l|}{7429} \\ \hline \multicolumn{1}{l|}{} & Total & 3721 & 3721 & \multicolumn{1}{l|}{7442} \\ \cline{2-5} \end{tabular} \end{table} \]

Y calcular el OR del Halcón Milenario frente al Ala-X:

    \[ OR_{sobrevivir|nave}= \frac{Odds_{sobrevivir|HM}}{Odds_{sobrevivir|Ala-X}} = \frac{0.000268817}{0003235373} = 0.083086918 \]

¿Cómo se interpreta este valor?.

El OR es menor que uno, por tanto hay una asociación negativa entre el tipo de nave elegida y sobrevivir. Podríamos decir que es 0.083086918 más probable sobrevivir navegando por un campo de asteroides navegando en un YT-1300 modificado que en un Ala-X.

Al obtener un OR menor a uno, es mejor calcular la inversa del OR. Así tenemos una mejor, y más intuitiva, visión de la relación entre los términos del OR. Haciendo la inversa obtenemos un valor de 12.035.

Entonces podríamos decir que, para un piloto de Ala-X, los odds de sobrevivir son 12,035 veces más grandes que para un piloto de YT-1300 modificado.

Podemos afirmar que los pilotos de un carguero YT-1300 modificado que intenten navegar por un campo de asteroides tendrán menos probabilidades de sobrevivir al marrón de atravesarlo. O, dicho de otra manera, los que piloten un Ala-X tendrán más posibilidades de ver el mañana.

Si tuviéramos que elegir a un piloto elegido al azar entre los 7442 pirados que dicen que son capaces de atravesar un campo de asteroides, nos gustaría saber cómo de probable es que salga vivito y coleando del viaje. El OR nos ayuda. Si el valiente es un piloto de ala-X, podemos apostar con menos riesgo a que sobrevivirá, ya que los odds para el Ala-X de sobrevivir son 12.0355 veces más altos de los odds para la supervivencia de un piloto YT-1300 modificado.

Tener claro el concepto de Odds es clave para comprender el modelo de regresión logística. Veremos su importancia en el siguiente post.

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